Question

18．如图，一根木棒AB长为2米，斜靠在墙壁AC上，∠ABC=60°，若AB滑动至A₁B₁位置，且$A{A_1}=（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$米，则①BB₁=$\sqrt{2}$-1米；②木棒AB的中点D所经过的路程为$\frac{π}{12}$米．

Answer 1

分析 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$A₁B₁=CO′，即O运动所经过的路线是一段圆弧；在Rt△ACB中，根据直角三角形三边的关系得到∠ACO=30°，CA=$\sqrt{3}$，BC=1，则易求出CA₁=CA-CA₁=$\sqrt{2}$，BB₁=$\sqrt{2}$-1，即可得到∠A₁CO′=45°，∠OCO′=15°，然后根据弧长公式计算即可．

解答 解：连接CO、CO′，如图，
∵CA⊥CB，O为AB中点，O′为A₁B₁的中点
∴CO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$A₁B₁=CO′，
∵AB=2，
∴CO=1，
当A端下滑B端右滑时，AB的中点O到C的距离始终为定长1，
∴O运动所经过的路线是一段圆弧，
∵∠ABC=60°，
∴∠ACO=30°，CA=$\sqrt{3}$，BC=1
∵$A{A_1}=（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$，
CA₁=CA-CA₁=$\sqrt{2}$，BB₁=$\sqrt{2}$-1，
∴sin∠A₁B₁C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A₁B₁C=45°，
∴∠A₁CO′=45°
∴∠OCO′=15°，
∴弧OO′的长=$\frac{15π}{180}$=$\frac{π}{12}$，
即O点运动到O′所经过路线OO′的长为$\frac{π}{12}$米．
故答案为：$\sqrt{2}-1$；$\frac{π}{12}$．

点评 本题考查了动点的运动轨迹问题，解答的关键是明确AB中点在以C为圆心的圆弧上运动，考查了弧长公式及直角三角形中的边角关系，是中档题．