Question

在△ABC中，角A、B、c的时边长分别为a、b、c，已知

3

sinB-cosB=l，且b=1．
（Ⅰ）若A=

5π

12

，求c的值；
（Ⅱ）设AC边上的高为h，求h的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由

3

sinB-cosB=l求得 sin（B-

π

6

）=

1

2

．根据A=

5π

12

，求得 B的值，可得 C=π-A-B的值  值，再根据b=1，利用正弦定理求得c的值．
（Ⅱ）根据

1

2

•bh=

1

2

ac•sinB，求得 h=

3

2

ac．由余弦定理可得 ac≤1，从而求得h的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵

3

sinB-cosB=l=2sin（B-

π

6

），∴sin（B-

π

6

）=

1

2

．
∵A=

5π

12

，∴0＜B＜

7π

12

，∴B=

π

3

，∴C=π-A-B=

π

4

．
再根据b=1，利用正弦定理可得

c

sinC

=

b

sinB

，即

c

2 2

=

1

3 2

，解得 c=

6

3

．
（Ⅱ）设AC边上的高为h，∵

1

2

•bh=

1

2

ac•sinB，∴h=

3

2

ac．
由余弦定理可得b²=1=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，
∴ac≤1，h≤

3

2

，即h的最大值为

3

2

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和差的正弦公式、基本不等式，属于中档题．