Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点Q是抛物线C上一点且Q的纵坐标为4，点Q到焦点F的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）已知p＜8，过点M（5，-2）任作一条直线与抛物线C相交于点A，B，试问在抛物线C上是否存在点E，使得EA⊥EB总成立？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意有Q（

8

p

，4），则有|QF|=

8

p

+

p

2

=5，由此能求出抛物线方程．
（Ⅱ）由已知得y²=4x．假设在抛物线C上存在点E，使得EA⊥EB总成立．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（x₀，y₀），则y1y2+y0(y1+y2)+y02+16=0．设直线方程为x=m（y+2）+5，代入y²=4x中，有y²-4my-8m-20=0，由此能求出在抛物线C上存在点E（1，2），使得

EA

•

EB

=0总成立．

解答： 解：（Ⅰ）由题意有Q（

8

p

，4），则有|QF|=

8

p

+

p

2

=5，
解得p=2或p=8，
所以，抛物线方程为y²=4x或y²=16x．…（5分）
（Ⅱ）∵p＜8，∴y²=4x．
假设在抛物线C上存在点E，使得EA⊥EB总成立．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（x₀，y₀），
则有（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（y₁-y₀）（y₂-y₀）=0，
即

(y12-y02)(y22-y02)

16

+（y₁-y₀）（y₂-y₀）=0，
又（y₁-y₀）（y₂-y₀）≠0，
得（y₁+y₀）（y₂+y₀）+16=0，
即y1y2+y0(y1+y2)+y02+16=0，…①…（9分）
设直线方程为x=m（y+2）+5，代入y²=4x中，
有y²-4my-8m-20=0，从而y₁+y₂=4m，且y₁y₂=-8m-20，
代入①中得：（4y₀-8）m+y02-4=0对于m∈R恒成立，
故4y₀-8=0，且y02-4=0，解得y₀=2，得E（1，2）．…（14分）
若直线过点（1，2），结论显然成立
所以，在抛物线C上存在点E（1，2），使得

EA

•

EB

=0总成立．…（15分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查在抛物线C上存在点E使得

EA

•

EB

=0总成立的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．