题目内容
已知函数f（x）=1+
-（1+cos2x）•tan2x，给出下列四个命题：
①函数f（x）的最小正周期为π，且在[
，
π]上递减；
②直线x=
是函数f（x）的图象的一条对称轴；
③对称中心（kπ+
，0）；
④若x∈[0，
]时函数f（x）的值域为[1，
]．
其中正确的命题的序号是 ．
| 2tanx |
| 1+tan2x |
①函数f（x）的最小正周期为π，且在[
| π |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
②直线x=
| π |
| 8 |
③对称中心（kπ+
| π |
| 8 |
④若x∈[0，
| π |
| 8 |
| 2 |
其中正确的命题的序号是
考点：三角函数的化简求值,同角三角函数基本关系的运用
专题：三角函数的求值
分析：化简可得f（x）=
sin（2x+
），由三角函数的性质逐个选项验证可得．
| 2 |
| π |
| 4 |
解答：
解：化简可得f（x）=1+
-（1+cos2x）•tan2x
=1+
-（1+2cos2x-1）•tan2x
=1+
-2cos2x•tan2x=1+sin2x-2sin2x
=sin2x+cos2x=
sin（2x+
）
由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
解得kπ+
≤x≤kπ+
，k∈Z
∴①函数f（x）的最小正周期为π，且在[
，
π]上递减，正确；
由2x+
=kπ+
可得x=
π+
，k∈Z
∴②直线x=
是函数f（x）的图象的一条对称轴，正确；
由2x+
=kπ可得x=
π-
，可得对称中心为（
π-
，0）k∈Z
∴③对称中心为（kπ+
，0），错误；
④若x∈[0，
]，则（2x+
）∈[
，
]，
∴sin（2x+
）∈[
，1]，可得f（x）的值域为[1，
]，正确．
故答案为：①②④
| 2tanx |
| 1+tan2x |
=1+
| ||
1+
|
=1+
| 2sinxcosx |
| cos2x+sin2x |
=sin2x+cos2x=
| 2 |
| π |
| 4 |
由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
∴①函数f（x）的最小正周期为π，且在[
| π |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
由2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| k |
| 2 |
| π |
| 8 |
∴②直线x=
| π |
| 8 |
由2x+
| π |
| 4 |
| k |
| 2 |
| π |
| 8 |
| k |
| 2 |
| π |
| 8 |
∴③对称中心为（kπ+
| π |
| 8 |
④若x∈[0，
| π |
| 8 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴sin（2x+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| 2 |
故答案为：①②④
点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的单调性和值域，属中档题．
练习册系列答案
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