题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB=2，AD=a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是考点：直线与平面垂直的性质
专题：空间位置关系与距离
分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数a的取值范围．
解答：
解：
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AM=m，DP=t，
则P（0，0，t），M（a，m，0），C（0，2，0），
∴
=(a，m，-t)，
=(a，m-2，0)，
∵PM⊥CM，
∴
•
=a2+m2-2m=0，
∴a2=-m2+2m=-（m-1）2+1≤1，
∵0≤m≤1，∴0≤a2≤1，
又a＞0，∴实数a的取值范围是（0，1]．
故答案为：（0，1]．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AM=m，DP=t，
则P（0，0，t），M（a，m，0），C（0，2，0），
∴
| PM |
| CM |
∵PM⊥CM，
∴
| PM |
| CM |
∴a2=-m2+2m=-（m-1）2+1≤1，
∵0≤m≤1，∴0≤a2≤1，
又a＞0，∴实数a的取值范围是（0，1]．
故答案为：（0，1]．
点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
练习册系列答案
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