题目内容
任给实数a，b定义a⊕b=
设函数f（x）=lnx⊕x，若{an}是公比大于0的等比数列，且a5=1，f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a7）+f（a8）=a1，则a1= ．
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考点：分段函数的应用
专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列
分析：由新定义可得f（x）=lnx⊕x=
，代入数值求解可得；可设该数列的前8项分别为
，
，
，
，1，q，q2，q3，当q＞1时，f（a1）+f（a2）+f（a3）…+f（a7）+f（a8）=-q4lnq4＜0，不合题意，当0＜q＜1时，f（a1）+f（a2）+f（a3）…+f（a7）+f（a8）=q4lnq4=
，解之即可．
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| 1 |
| q4 |
| 1 |
| q3 |
| 1 |
| q2 |
| 1 |
| q |
| 1 |
| q4 |
解答：
解：∵a⊕b=
，
∴f（x）=lnx⊕x=
，
∴f（2）+f（
）=2ln2+
=2ln2+2ln
=2ln2-2ln2=0；
∵{an}是公比大于0的等比数列，且a5=1，
故可设该数列的前8项分别为
，
，
，
，1，q，q2，q3，
故当q＞1时，数列的前4项
，
，
，
均为（0，1）之间的数，
数列的6、7、8项q，q2，q3均大于1，
f（a1）+f（a2）+f（a3）…+f（a7）+f（a8）
=q4ln
+q3ln
+q2ln
+qln
+0+qlnq+q2lnq2+q3lnq3=-q4lnq4＜0，
这与f（a1）+f（a2）+f（a3）…+f（a7）+f（a8）=a1=
＞0矛盾；
同理可得当0＜q＜1时，数列的前4项
，
，
，
均为大于1，
数列的6、7、8项q，q2，q3均为（0，1）之间的数，
f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a7）+f（a8）=q4lnq4=a1=
，
解得
=e，故a1=e，
故答案为：e
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∴f（x）=lnx⊕x=
|
∴f（2）+f（
| 1 |
| 2 |
ln
| ||
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| 1 |
| 2 |
∵{an}是公比大于0的等比数列，且a5=1，
故可设该数列的前8项分别为
| 1 |
| q4 |
| 1 |
| q3 |
| 1 |
| q2 |
| 1 |
| q |
故当q＞1时，数列的前4项
| 1 |
| q4 |
| 1 |
| q3 |
| 1 |
| q2 |
| 1 |
| q |
数列的6、7、8项q，q2，q3均大于1，
f（a1）+f（a2）+f（a3）…+f（a7）+f（a8）
=q4ln
| 1 |
| q4 |
| 1 |
| q3 |
| 1 |
| q2 |
| 1 |
| q |
这与f（a1）+f（a2）+f（a3）…+f（a7）+f（a8）=a1=
| 1 |
| q4 |
同理可得当0＜q＜1时，数列的前4项
| 1 |
| q4 |
| 1 |
| q3 |
| 1 |
| q2 |
| 1 |
| q |
数列的6、7、8项q，q2，q3均为（0，1）之间的数，
f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a7）+f（a8）=q4lnq4=a1=
| 1 |
| q4 |
解得
| 1 |
| q4 |
故答案为：e
点评：本题考查新定义，涉及函数的求值以及数列的求和，属中档题．
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