Question

设函数f（x）=

1

2

x-

1

4

sinx-

3

4

cosx．
（1）试判定函数f（x）的单调性，并说明理由；    
（2）已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f′（B）=

3

4

且B为锐角，求sin（B+10°）[1-

3

tan（B-10°）]的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,两角和与差的正弦函数

专题：导数的综合应用,三角函数的求值

分析：（1）求导，得到导数恒大于等于0，故得到函数为增函数，
（2）先求出B的大小，再利用三角函数的和差公式和诱导公式化简即可求出值．

解答： 解：∵f（x）=

1

2

x-

1

4

sinx-

3

4

cosx．
∴f′（x）=

1

2

-

1

4

cosx+

3

4

sinx=

1

2

sin（x-

π

6

）+

1

2

≥0，
∴函数f（x）在其定义域内单调递增．
（2）∵f′（B）=

3

4

且B为锐角，
∴

1

2

sin（B-

π

6

）+

1

2

=

3

4

，
∴sin（B-

π

6

）=

1

2

，
∴B-

π

6

=

π

6

，
∴B=60°，
∴sin（B+10°）[1-

3

tan（B-10°）]=sin70°（1-

3

tan50°）
=sin70°（1-

3 sin50°

cos50°

）=sin70°

cos50°- 3 sin50

cos50°

=sin70°

2cos110°

cos50°

=-

sin140°

cos50°

=-1

点评：本题主要考查了导数与函数单调性的关系以及三角函数中的和差公式，诱导公式，培养科学生的计算能力，属于中档题．