题目内容
如图，设P是圆O：x2+y2=a2上的任意一点，过点P与x轴垂直的直线与x轴交于点Q，点M满足a| QM |
| QP |
（1）求曲线C的方程，并指出曲线C为何种圆锥曲线；
（2）若S（m，n）为圆O上任意一点，求与直线mx+ny=1恒相切的定圆的方程；
（3）若S（m，n）为曲线C上的任意一点，且A（1，
| 3 |
| 2 |
考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）设点M（x，y），P（x0，y0），则Q（x0，0），由a
=b
，（a＞b＞0），得a（x-x0，y）=b（0，y0），又P（x0，y0）是圆上任意一点，从而x02+y02=a2，由此能求出曲线C的方程．
（2）由对称性，设所求定圆方程为x2+y2=r2，r＞0，由圆心O到直线l的距离得r=
，由此能求出与直线mx+ny=1恒相切的定圆的方程．
（3）由已知条件能写出与直线mx+ny=1恒相切的定曲线的方程．
| QM |
| QP |
（2）由对称性，设所求定圆方程为x2+y2=r2，r＞0，由圆心O到直线l的距离得r=
| 1 | ||
|
（3）由已知条件能写出与直线mx+ny=1恒相切的定曲线的方程．
解答：
解：（1）设点M（x，y），P（x0，y0），则Q（x0，0），
由a
=b
，（a＞b＞0），得a（x-x0，y）=b（0，y0），
∴
，
又P（x0，y0）是圆上任意一点，
∴x02+y02=a2，
∴x2+（
y）2=a2，整理，得：
+
=1，（a＞b＞0），
∴曲线C的方程为
+
=1，（a＞b＞0）．
该曲线是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆．
（2）由对称性，设所求定圆方程为x2+y2=r2，r＞0，
依题意，得圆心O到直线l的距离d=
，
∴r=
，
又∵S（m，n）是圆x2+y2=a2上任意一点，
∴m2+n2=a2，∴r=
，
∴与直线mx+ny=1恒相切的定圆的方程为x2+y2=
．
（3）4x2+3y2=1．
由a
| QM |
| QP |
∴
|
又P（x0，y0）是圆上任意一点，
∴x02+y02=a2，
∴x2+（
| a |
| b |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴曲线C的方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
该曲线是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆．
（2）由对称性，设所求定圆方程为x2+y2=r2，r＞0，
依题意，得圆心O到直线l的距离d=
| 1 | ||
|
∴r=
| 1 | ||
|
又∵S（m，n）是圆x2+y2=a2上任意一点，
∴m2+n2=a2，∴r=
| 1 |
| a |
∴与直线mx+ny=1恒相切的定圆的方程为x2+y2=
| 1 |
| a2 |
（3）4x2+3y2=1．
点评：本题主要考查平面向量、直线与圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．
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2008年8月18日，在北京奥运会田径男子跳远决赛中，巴拿马选手萨拉迪诺-阿兰达以8米34的成绩获得冠军．但是你知道吗：世界田径史上，1968年墨西哥奥运会，美国选手鲍勃•比蒙第一次试跳跳出了8.90米．他的这一成绩，超过当时世界纪录整整55厘米．直到23年后，鲍威尔才终于突破了这项惊人的纪录．因为长达23年无人能破此纪录，比蒙的这一跳甚至被田径史上冠以“比蒙障碍”的名称．直到1991年在东京的世锦赛上，迈克•鲍威尔才以8.95米的成绩打破了这个著名的“比蒙障碍”．比蒙跳跃时高度的变化大至可用函数：h（t）=-5t2+5t（0≤t≤1）表示，