Question

数列{b_n}满足b₁=2，b_n=

bn-1

1+bn-1

，（n≥2，n∈N₊）
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

2n+1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

1

bn

=

1

bn-1

+1，从而{

1

bn

}是首项为

1

2

，公差为1的等差数列，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）bn=

2

2n-1

，则

2n+1

bn

=（2n-1）•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{

2n+1

bn

}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{b_n}满足b₁=2，b_n=

bn-1

1+bn-1

，（n≥2，n∈N₊），
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

，n≥2，
∴{

1

bn

}是首项为

1

2

，公差为1的等差数列，
∴

1

bn

=

1

2

+(n-1)•1=

2n-1

2

，
∴b_n=

2

2n-1

．（n∈N^*）．
（2）bn=

2

2n-1

，则

2n+1

bn

=（2n-1）•2ⁿ，
∴Tn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n，①
2Tn=1•22+3•23+5•24+…+(2n-1)•2n+1，②
①-②，得：
-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=-2-2（2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-2-2×

4(1-2n-1)

1-2

+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．