Question

7．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上一点，AB=$\frac{5}{2}\sqrt{6}$，AC=5$\sqrt{3}$，AD=5，∠ADB为锐角．
（1）求角∠ADC的大小；
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）在三角形ADB中，利用正弦定理表示出sin∠ADB，求出∠ADB，确定出∠ADC的度数；
（2）在△ADC中，设CD=x，由余弦定理可得，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC即可求出CD的长．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$∠B={45°}，AB=\frac{{5\sqrt{6}}}{2}$，
∴由正弦定理可得，$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sin∠B}$QUOTE，即$\frac{{\frac{{5\sqrt{6}}}{2}}}{sin∠ADB}=\frac{5}{{sin{{45}°}}}$，…（2分）
E∴$sin∠ADB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∵∠ADB为锐角，∴∠ADB=60°．…（4分）∴∠ADC=120°．…（5分）
（2）在△ADC中，设CD=x，由余弦定理可得，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC…（7分）
∴${（5\sqrt{3}）^2}={5^2}+C{D^2}-2×5•CD•cos∠{120°}$，即x²+5x-50=0，…（9分）
（x+10）（x-5）=0，∴x=5，即CD=5．…（10分）

点评 考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．