Question

12．已知函数f（x）=log_a（x²-3ax）对任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，+∞），x₁≠x₂时都满足$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{3}$]
• C． （0，$\frac{1}{6}$）
• D． （$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 通过讨论a的范围，结合函数的单调性问题转化为a＜$\frac{x}{3}$在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，求出a的范围即可．

解答 解：a＞1时，f（x）递增，显然不满足$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
0＜a＜1时，只需g（x）=x²-3ax＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，
且g（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
即a＜$\frac{x}{3}$在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立且对称轴$\frac{3a}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
故a＜$\frac{1}{6}$，
故a的范围是（0，$\frac{1}{6}$），
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查对数函数的性质，是一道中档题．