Question

已知定义在R上的奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）满足以下条件：
①在x=1时有极值；
②曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x-3y+2=0垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设直线l₁：y=kx与函数f（x）的图象有三个不同的交点A，B，C，且|AB|=|BC|=5，求直线l的斜率k的值；
（Ⅲ）设g（x）=6lnx-m，若存在x∈[

1

e

，e]，使g（x）＜f（x），求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）函数f（x）是定义在实数集上的奇函数，由f（0）=0，f（-1）=-f（1）求得b，d的值，再由x=1时f（x）有极值得f′（1）=0，f（x）在x=0处的切线与直线x-3y+2=0垂直得f′（0）=-3，联立方程组求得a，c的值，则函数f（x）的解析式可求；
（Ⅱ）奇函数f（x）的图象关于（0，0）中心对称，由|AB|=|BC|知B点为坐标原点，联立y=kx与f（x）=0
求得A点坐标，由|AB|=5列式求得k值；
（Ⅲ）把f（x），g（x）的解析式式代入g（x）＜f（x），进一步转化为m＞6lnx-3x²+3，引入辅助函数
h(x)=6lnx-3x2+3，x∈[

1

e

，e]，利用导数求其最小值，则m大于其最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=d=0．
即f（x）=ax³+bx²+cx，
由f（-1）=-f（1），得：
-a+b-c=-a-b-c，得b=0，
∴f（x）=ax³+cx，
则f′（x）=3ax²+c．
∵f（x）在x=1时有极值，
∴f′（1）=3a+c=0  ①
又f（x）在x=0处的切线与直线x-3y+2=0垂直，
∴f′（0）=c=-3．
把a=-3代入①得a=1，
即f（x）=x³-3x；
（Ⅱ）原点（O，O）是三次曲线f（x）的对称中心，
由题设|AB|=|BC|=5可知，点B就是（O，O），
将y=kx与y=x³-3x联立得x（x²-3-k）=0，
解得x=0和x=±

k+3

．
不妨设A（

k+3

，k

k+3

），
由|AB|=5可得（k+3）（1+k²）=25，
解得k=2；
（Ⅲ）若存在x∈[

1

e

，e]，使6lnx-m＜3x²-3，
即存在x∈[

1

e

，e]，使m＞6lnx-3x²+3，
设h(x)=6lnx-3x2+3，x∈[

1

e

，e]，
则h′(x)=

6

x

-6x=

6-6x2

x

．
令h′（x）=0，
∵x∈[

1

e

，e]，
∴x=1．
当x∈[1，e]时，h′（x）≤0，
∴h（x）在[1，e]上为减函数；
当x∈[

1

e

，1]时，h′（x）≥0，
∴h（x）在[

1

e

，1]上为增函数．
又h(

1

e

)=-3-

3

e2

，h（e）=9-3e²，h(

1

e

)＞h(e)，
∴h（x）最小值为9-3e²．
∴实数m的范围是m＞9-3e²．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数奇偶性的性质，训练了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，正确理解题意并进行合理转化是解答（Ⅲ）的关键，是压轴题．