Question

将函数f（x）=

2 3 cosx-2sinx

5+2cos2x-2 3 sinxcosx

+2的图象先向右平移

π

6

个单位，再向下平移两个单位，得到函数g（x）的图象．
（1）化简f（x）的表达式，并求出函数g（x）的表示式；
（2）指出函数g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的单调性和最大值；
（3）已知A（-2，

3

2

），B（2，

9

2

），问在y=g（x）的图象上是否存在一点P，使得

AP

⊥

BP

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理求得f（x）的表达式，进而通过图象的平移求得g（x）的解析式．
（2）对函数进行分类讨论，在x=±

π

2

，（-

π

2

，0]，[0，

π

2

）上的最大值及单调性．
（3）以AB为直径作圆，利用g（x）的范围推断出g（x）与圆只有一个交点，进而求得P．

解答： 解：（1）f（x）=

2 3 cosx-2sinx

5+2cos2x-2 3 sinxcosx

+2=

2cos(x+ π 6 )

3+cos(2x+ π 3 )

+2，
依题意g（x）=f（x-

π

6

）-2，
∴g（x）=

2cosx

3+cos2x

=

cosx

cos2x+1

（2）g（±

π

2

）=0，
当x∈（-

π

2

，

π

2

）时，g（x）=

1

cosx+ 1 cosx

，
（i）当x∈（-

π

2

，

π

2

）时，1≥cosx＞0
cosx+

1

cosx

≥2，当cosx=

1

cosx

时，等号成立，此时cosx=1，x=0
∴0＜g（x）≤

1

2

，
∴g（x）的最大值为

1

2

，
令t=cosx，则0≤t＜1，y=

1

t

+t
令t₁＞t₂，则f（t₁）-f（t₂）=（t₁-t₂）+（

1

t1

-

1

t2

）=

(t1-t2)(t1t2-1)

t1t2

＜0，
∴函数y=

1

t

+t在（0，1）上单调减，
①在（-

1

2

，0）上y=cosx为增函数，y=t+

1

t

为减函数
∴y=cosx+

1

cosx

为减函数，则g（x）=

1

cosx+ 1 cosx

为增函数
②在[0，

1

2

）上y=cosx为减函数，y=t+

1

t

为减函数
则y=cosx+

1

cosx

为增函数，则g（x）=

1

cosx+ 1 cosx

为减函数
（3）∵由（1）知g（x）≤

1

2

，且g（0）=

1

2

，所以圆x²+（y-3）²=（

5

2

）²与y=g（x）图象有唯一交点P（0，

1

2

）．
∴在y=g（x）图象上存在点P（0，

1

2

）使

AP

⊥

BP

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，函数的单调性，复合函数的单调性等问题．注意符合函数在单调性上同增异减的口诀．