Question

已知函数f（x）=（2cos²x+sin2x）tanx-1．
（1）求函数f（x）的定义域和最小正周期；
（2）当x∈[-

3π

8

，0]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，根据正切函数的定义域，确定该函数的定义域，然后，借助于二倍角公式，化简函数解析式，f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），然后确定该函数的周期即可；
（2）根据（1）和x∈[-

3π

8

，0]，结合三角函数的单调性进行求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=（2cos²x+sin2x）tanx-1
∴x≠

π

2

+kπ，k∈Z，
∴函数的定义域为：{x|x≠

π

2

+kπ，k∈Z}，
∵f（x）=（2cos²x+sin2x）tanx-1
=2cos²xtanx+sin2xtanx-1
=2cosxsinx+2sin²x-1
=sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

）
∴f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）
∴T=

2π

2

=π，
∴函数f（x）的最小正周期π．
（2）∵x∈[-

3π

8

，0]，
∴-

3π

4

≤2x≤0，
∴-π≤2x-

π

4

≤-

π

4

，
∴sin（2x-

π

4

）∈[-1，0]，
∴f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）∈[-

2

，0]，
∴最小值-

2

；最大值0．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、周期公式、三角恒等变换等知识，属于中档题．