Question

抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于B，C两点，已知A（-1，0），△ABC为等腰直角三角形．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）直线l过点A且与抛物线E交于M，N两点，点N₁与点N交于x轴对称，证明：直线MN₁过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用△ABC为等腰直角三角形，可得A为直角顶点，从而可求抛物线E的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-1，代入抛物线方程，结合韦达定理，表示出直线MN₁的方程，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：由题意，B（

p

2

，p），C（

p

2

，-p），
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴A为直角顶点，
∴|AF|=|BF|，
∴1+

p

2

=p，
∴p=2，
∴抛物线方程为y²=4x；
（Ⅱ）证明：由已知得直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x=my-1，
代入抛物线方程，可得y²-4my+4=0，
∴△=16m²-16＞0，∴m²＞1，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁y₂=4，
∵N₁（x₂，-y₂），∴直线MN₁的方程为y-y₁=

y1-(-y2)

x1-x2

（x-x₁），
∵x₁=

y12

4

，x₂=

y22

4

，
∴代入直线MN₁的方程整理可得y=

4

y1-y2

x-

y1y2

y1-y2

，
∴y=

4

y1-y2

（x-1），
∴直线MN₁过定点（1，0）．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线恒过定点，属于中档题．