Question

已知四棱锥P-ABCD是底面为平行四边形，面PAB⊥面ABCD，△PAB为正三角形，且AB=

1

2

AD=2，以AD为直径的圆于BC交于点B，点E，F分别是AD，PC的中点．
（1）求证：EF⊥平面PBD；
（2）求三棱锥C-BEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取PB的中点为M连结AM，MF，由已知得AB⊥BD，AM⊥BD，从而AM⊥面PBD，由EF∥AM，能证明EF⊥面PBD．
（2）先求出S_△BEC=

1

2

×BE×EC=2

3

，作PH⊥AB，连结CH，作FO⊥CH，FO

∥

.

1

2

AH=

3

2

，由此能求出三棱锥C-BEF的体积．

解答： （1）证明：取PB的中点为M连结AM，MF，因为F为PC的中点，
所以FM

∥

.

1

2

BC，又ABCD是平行四边形，
E为AD的中点，所以AMFE是平行四边形，
所以EF∥面PAB，
因为△PAB为正三角形，且AB=

1

2

AD=2，
M是PB的中点，所以AM⊥PB，∠BAD=60°，
所以AB⊥BD，
因为面PAB⊥面ABCD，所以BD⊥平面PAB，
所以AM⊥BD，
又PB∩BD=B，所以AM⊥面PBD．EF∥AM，
所以EF⊥面PBD．
（2）解：由∠EBC=120°-60°=60°，DE=DC，且∠CDE=120°，
得∠ECD=30°，从而∠BEC=90°，
∴S_△BEC=

1

2

×BE×EC=2

3

，
作PH⊥AB，交AB于H，则H是AB中点，连结CH，作FO⊥CH，交CH于O，
则FO

∥

.

1

2

AH=

3

2

，
∵面PAB⊥面ABCD，∴AH⊥平面ABCD，∴FO⊥平面ABCD，
∴三棱锥C-BEF的体积V=

1

3

×FO×S△BEF=

1

3

×

3

2

×2

3

=1．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．