Question

1．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，F₁F₂=2$\sqrt{5}$，点P（2$\sqrt{5}$，2）在双曲线上．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线l与双曲线相切与于点Q，与双曲线的两条渐近线分别相交于M，N两点，当点Q在双曲线上运动时，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的值是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=$\sqrt{5}$，即有a²+b²=5，又点P（2$\sqrt{5}$，2）在双曲线上，代入双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；
（2）讨论Q为双曲线的顶点，即切线的斜率不存在，求得M，N的坐标，可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3；再设Q（m，n），且切线的斜率存在，代入双曲线的方程，求导可得切线的斜率和方程，联立渐近线方程求得M，N的坐标，再由向量数量积的坐标表示，计算即可得到所求定值．

解答 解：（1）由题意可得2c=2$\sqrt{5}$，即c=$\sqrt{5}$，
即有a²+b²=5，
又点P（2$\sqrt{5}$，2）在双曲线上，
可得$\frac{20}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=1，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1；
（2）假设Q为双曲线的顶点，设Q（2，0），切线为x=2，
代入双曲线的渐近线方程y=±$\frac{1}{2}$x，可得M（2，1），N（2，-1），
即有$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=2×2+1×（-1）=3；
设Q（m，n），且切线的斜率存在，且有m²-4n²=4，
对双曲线的方程两边对x求导，可得$\frac{1}{2}$x-2yy′=0，
（或设直线y-n=k（x-m），代入双曲线方程，由判别式为0，可得k=$\frac{m}{4n}$）
求得切线的斜率为k=$\frac{m}{4n}$，
切线的方程为y-n=$\frac{m}{4n}$（x-m），
化为mx-4ny-4=0，
联立渐近线方程y=±$\frac{1}{2}$x，
可得M（$\frac{4}{m-2n}$，$\frac{2}{m-2n}$），N（$\frac{4}{m+2n}$，-$\frac{2}{m+2n}$），
即有$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{16}{{m}^{2}-4{n}^{2}}$-$\frac{4}{{m}^{2}-4{n}^{2}}$=$\frac{12}{{m}^{2}-4{n}^{2}}$
=$\frac{12}{4}$=3．
则当点Q在双曲线上运动时，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的值为定值3．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用焦距和点满足双曲线的方程，考查定值的判断，注意讨论切线的斜率是否存在，联立切线方程和渐近线方程，运用向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．