Question

11．已知△ABC的三边长成等差数列，公差为2，且最大角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则这个三角形的周长是（　　）

• A． 9
• B． 12
• C． 15
• D． 18

Answer 1

分析 设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，由于公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a-b=b-c=2，a=c+4，b=c+2，因为sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以A=60°或120°．若A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°．由余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．

解答 解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，
∵由于公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，
∴a-b=b-c=2，即：a=c+4，b=c+2，
∵sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=60°或120°．
∵若A=60°，由于三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，
∴A=120°．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（c+2）^{2}+{c}^{2}-（c+4）^{2}}{2（c+2）•c}$=$\frac{c-6}{2c}$=-$\frac{1}{2}$．
∴c=3，
∴b=c+2=5，a=c+4=7．
∴这个三角形的周长=3+5+7=15．
故选：C．

点评 本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用，属于中档题．