Question

6．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y-1≥0}\\{x-y+2≥0}\\{x+4y-8≤0}\end{array}\right.$，且目标函数z=ax+y仅在点（4，1）处取得最大值，则原点O到直线ax-y+17=0的距离d的取值范围是（　　）

• A． （4$\sqrt{17}$，17]
• B． （0，4$\sqrt{17}$）
• C． （$\frac{17\sqrt{2}}{2}$，17]
• D． （0，$\frac{17\sqrt{2}}{2}$）

Answer 1

分析 作出可行域，由目标函数z=ax+y仅在点（4，1）取最大值，分a=0，a＜0，a＞0三种情况分类讨论经，能求出实数a的取值范围．然后求解O到直线的距离的表达式，求解最值即可．

解答 解：∵约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y-1≥0}\\{x-y+2≥0}\\{x+4y-8≤0}\end{array}\right.$作出可行域，如右图可行域，
∵目标函数z=ax+y仅在点A（4，1）取最大值，
当a=0时，z=y仅在y=1上取最大值，不成立；
当a＜0时，目标函数z=ax+y的斜率k=-a＞0，
目标函数在（4，1）取不到最大值．
当a＞0时，目标函数z=ax+y的斜率k=-a，小于直线x+4y-8=0的斜率-$\frac{1}{4}$，∴a＞$\frac{1}{4}$．
综上，$\frac{1}{4}$＜a．
原点O到直线ax-y+17=0的距离d=$\frac{17}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$＜4$\sqrt{17}$
则原点O到直线ax-y+17=0的距离d的取值范围是：（0，4$\sqrt{17}$）
故选：B．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意线性规划知识的合理运用．