Question

12．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，猜想出数列的通项公式a_n；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （I）根据递推公式计算并猜想通项公式；
（II）先验证n=1时猜想成立，再假设n=k猜想成立，推导n=k+1的情况，得出结论．

解答 解：（I）a₂=2-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{2}$；a₃=2-$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{3}$；a₄=2-$\frac{1}{{a}_{3}}$=$\frac{5}{4}$；
猜想：a_n=$\frac{n+1}{n}$．
（II）当n=1时，猜想显然成立；
假设n=k（k≥1）时猜想成立，即a_k=$\frac{k+1}{k}$，
则a_k+1=2-$\frac{1}{{a}_{k}}$=2-$\frac{k}{k+1}$=$\frac{k+2}{k+1}$=$\frac{k+1+1}{k+1}$，
∴当n=k+1时，猜想成立．
∴a_n=$\frac{n+1}{n}$对任意正整数恒成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明，属于基础题．