题目内容
现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第n次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为an．
（1）求出a1、a2的值，并写出an与an-1（n≥2）的关系式；
（2）证明数列{
-
}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（3）当n≥2时，证明：
+
+…+
＜
．
（1）求出a1、a2的值，并写出an与an-1（n≥2）的关系式；
（2）证明数列{
| an |
| 5n |
| 1 |
| 6 |
（3）当n≥2时，证明：
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
| 3 |
| 10 |
考点：数列与不等式的综合
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）第n-1次传球后，不同传球方式种数为5n-1，不在甲手中的种数为5n-1-an-1，由此能求出a1、a2的值，并写出an与an-1（n≥2）的关系式．
（2）由an=-an-1+5n-1，得
-
=-
(
-
)，由此能证明数列{
-
}是以-
为首项，-
为公比的等比数列，从而能求出an=
．
（3）当n（n≥3）为奇数时，则n-1为偶数，
+
=
+
=
[1-(
)n-1]＜
；当n（n≥2）为偶数时，则n+1为奇数，从而(
+
)…+(
+
)＜
，由此能证明当n≥2时，
+
…+
＜
．
（2）由an=-an-1+5n-1，得
| an |
| 5n |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 5 |
| an-1 |
| 5n-1 |
| 1 |
| 6 |
| an |
| 5n |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 5 |
| 5n+5(-1)n |
| 6 |
（3）当n（n≥3）为奇数时，则n-1为偶数，
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| an |
| 6 |
| 5n-1+5 |
| 6 |
| 5n-5 |
| 3 |
| 10 |
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 10 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an+1 |
| 3 |
| 10 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
| 3 |
| 10 |
解答：
（本小题满分13分）
（1）解：a1=0，a2=5，
第n-1次传球后，不同传球方式种数为5n-1，
不在甲手中的种数为5n-1-an-1，
∴当n≥2时，an=5n-1-an-1…（5分）
（2）解：由an=-an-1+5n-1，得
-
=-
(
-
)，
又
-
=-
，
则数列{
-
}是以-
为首项，-
为公比的等比数列．
从而
-
=-
•(-
)n-1，
故an=
．…（9分）
（3）证明：当n（n≥3）为奇数时，则n-1为偶数，
+
=
+
=6•
=6•
＜6•
=6(
+
)
+
…+
=(
+
)+…+(
+
)
＜6[(
+
)+…+(
+
)]
=6
=
[1-(
)n-1]＜
当n（n≥2）为偶数时，则n+1为奇数，
从而(
+
)…+(
+
)＜
综上，当n≥2时，
+
…+
＜
．…（13分）
（1）解：a1=0，a2=5，
第n-1次传球后，不同传球方式种数为5n-1，
不在甲手中的种数为5n-1-an-1，
∴当n≥2时，an=5n-1-an-1…（5分）
（2）解：由an=-an-1+5n-1，得
| an |
| 5n |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 5 |
| an-1 |
| 5n-1 |
| 1 |
| 6 |
又
| a1 |
| 5 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
则数列{
| an |
| 5n |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 5 |
从而
| an |
| 5n |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 5 |
故an=
| 5n+5(-1)n |
| 6 |
（3）证明：当n（n≥3）为奇数时，则n-1为偶数，
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| an |
| 6 |
| 5n-1+5 |
| 6 |
| 5n-5 |
=6•
| 5n-1+5n |
| 5n-1•5n+5•5n-5•5n-1-25 |
=6•
| 5n-1+5n |
| 5n-1•5n+4•5n-25 |
＜6•
| 5n-1+5n |
| 5n-1•5n |
=6(
| 1 |
| 5n-1 |
| 1 |
| 5n |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
=(
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| an |
＜6[(
| 1 |
| 52 |
| 1 |
| 53 |
| 1 |
| 5n-1 |
| 1 |
| 5n |
=6
| ||||
1-
|
| 3 |
| 10 |
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 10 |
当n（n≥2）为偶数时，则n+1为奇数，
从而(
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an+1 |
| 3 |
| 10 |
综上，当n≥2时，
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
| 3 |
| 10 |
点评：本题考查an与an-1（n≥2）的关系式的求法，考查数列{
-
}是等比数列，考查数列{an}的通项公式的求法，考查不等式的证明，注意构造法的合理运用．
| an |
| 5n |
| 1 |
| 6 |
练习册系列答案
黄冈创优卷系列答案
相关题目
函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ＜函数f（x）=lnx-
（x＞0，a∈R）．
（1）试求f（x）的单调区间；
（2）是否存在正实数a，使得函数y=f（x）的图象存在唯一零点？若存在，试求出a的取值集合，若不存在，试说明理由．
| a(x-1) |
| x |
（1）试求f（x）的单调区间；
（2）是否存在正实数a，使得函数y=f（x）的图象存在唯一零点？若存在，试求出a的取值集合，若不存在，试说明理由．
圆x2+y2-6x+7=0上的点到直线x-y+1=0距离的最小值为（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、2
| ||||
D、3
|