题目内容

7．雾霾影响人们的身体健康，越来越多的人开始关心如何少产生雾霾，春节前夕，某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度，随机采访了50人，将凋查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]
频数510151055
赞成人数4612733
（1）以赞同人数的频率为概率，若再随机采访3人，求至少有1人持赞同态度的概率；
（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

分析 （1）先求出赞同人数的概率，由此能求出至少有1人持赞同态度的概率．
（2）依题意得X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望EX．

解答 解：（1）随机采访的50人中，赞成人数有：4+6+12+7+3+3=35人，
∵以赞同人数的频率为概率，∴赞同人数的概率p1=$\frac{35}{50}$=$\frac{7}{10}$，
∴至少有1人持赞同态度的概率p=1-（1-$\frac{7}{10}$）3=0.973．
（2）从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，
记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X，
依题意得X=0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{15}{75}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{34}{75}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{22}{75}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{4}{75}$，
∴X的分布列是：

 X 0 1 2 3
 P $\frac{15}{75}$ $\frac{34}{75}$ $\frac{22}{75}$ $\frac{4}{75}$
∴X的数学期望EX=$0×\frac{15}{75}+1×\frac{34}{75}+2×\frac{22}{75}$+3×$\frac{4}{75}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

练习册系列答案
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（Ⅰ）求2016年1月8日（周五）小明与小强乘坐相同车次回马鞍山的概率；
（Ⅱ）记随机变量X为小明与小强在1月15日（周五），1月22日（周五），1月29日（周五）这3天中乘坐的车次相同的次数，求随机变量X的分布列与数学期望．
附：2016年1月10日至1月31日每周五下午芜湖站至马鞍山东站的高铁时刻表．
车次芜湖发车到达马鞍山东耗时
G717413：3714：0225分钟
G717815：0515：2419分钟
D560615：3716：0225分钟
D560817：2917：4819分钟
G708818：2918：4819分钟

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