题目内容
17．已知在$f（x）={（\frac{1}{x}+{x^2}）^n}$的展开式中，第4项为常数项（1）求f（x）的展开式中含x-3的项的系数；
（2）求f（x）的展开式中系数最大的项．
分析 （1）利用通项公式根据第4项为常数项，求得n的值，可得f（x）的展开式中含x-3的项的系数．
（2）根据通项公式可得f（x）的展开式中系数最大的项，即r=4，或r=5，从而得出结论．
解答 解：（1）在$f（x）={（\frac{1}{x}+{x^2}）^n}$的展开式中，第4项为T4=${C}_{n}^{3}$•x9-n，为常数项，
∴n=9，故$f（x）={（\frac{1}{x}+{x^2}）^n}$=${（\frac{1}{x}{+x}^{2}）}^{9}$，它的通项公式为Tr+1=${C}_{9}^{r}$•x3r-9，
令3r-9=-3，求得r=2，可得f（x）的展开式中含x-3的项的系数为${C}_{9}^{2}$=36．
（2）f（x）的展开式中系数最大的项，即r=4，或r=5，
故系数最大的项为第五项或第六项，即T5=${C}_{9}^{4}$•x3，T6=${C}_{9}^{5}$•x9．
点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
7．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则异面直线CE与BD所成的角为（ ）
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{2}$ |
12．$\frac{3+2i}{2-3i}$=（ ）
| A． | 1+i | B． | 1-i | C． | i | D． | -i |
如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
7．雾霾影响人们的身体健康，越来越多的人开始关心如何少产生雾霾，春节前夕，某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度，随机采访了50人，将凋查情况进行整理后制成下表：
（1）以赞同人数的频率为概率，若再随机采访3人，求至少有1人持赞同态度的概率；
（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
| 年龄（岁） | [15，25） | [25，35） | [35，45） | [45，55） | [55，65） | [65，75] |
| 频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
| 赞成人数 | 4 | 6 | 12 | 7 | 3 | 3 |
（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．