Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=24，a₆=18．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）当n为何值时，S_n最大，并求S_n的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差是d，有等差数列的通项公式和题意求出d，再求出a_n；
（Ⅱ）先（Ⅰ）求出a₁，代入sn=

n(a1+an)

2

化简即可；
（Ⅲ）根据S_n和n的取值范围，利用二次函数的性质，求出S_n的最大值及n的值．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差是d，
因为a₃=24，a₆=18，所以d=

a6-a3

6-3

=-2，
所以a_n=a₃+（n-3）d=30-2n…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a₁=28，
所以sn=

n(a1+an)

2

=

n(28+30-2n)

2

=-n2+29n…（9分）
（Ⅲ）因为sn=-n2+29n，所以对称轴是n=

29

2

，
则n=14或15时，s_n最大，
所以s_n的最大值为s14=-(14)2+29×14=210…（12分）

点评：本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，以及利用二次函数的性质求出前n项和S_n的最值问题．