Question

已知函数f（x）=

1

sinx

+

1

cosx

，在下列结论中：
①π是f（x）的一个周期；
②f（x）的图象关于直线x=

π

4

对称；
③f（x）在（-

π

2

，0）上单调递减．
正确结论的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：变形可得f（x+π）≠f（x），可判①错误；
可得f（

π

2

-x）=f（x），可判②正确；
换元t=sinx+cosx，可得y=

2t

t2-1

，求导数可判单调性．

解答： 解：∵f（x）=

1

sinx

+

1

cosx

，
∴f（x+π）=

1

sin(x+π)

+

1

cos(x+π)

=-

1

sinx

-

1

cosx

≠f（x），
∴π不是f（x）的周期，故①错误；
∵f（

π

2

-x）=

1

sin( π 2 -x)

+

1

cos( π 2 -x)

=

1

cosx

+

1

sinx

=f（x），
∴f（x）的图象关于直线x=

π

4

对称，故②正确；
设t=sinx+cosx，则sinxcosx=

t2-1

2

，
∴y=

1

sinx

+

1

cosx

=

sinx+cosx

sinxcosx

=

2t

t2-1

，
当x∈（-

π

2

，0）时，t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈（-1，1），
求导数可得y′=

2(t2-1)-2t•2t

(t2-1)2

=

-2t2-2

(t2-1)2

＜0，
∴函数单调递减，故③正确．
故选：C

点评：本题考查三角函数的性质，涉及周期性和对称性，以及导数法判函数的单调性，属中档题．