Question

四边形ABCD是⊙O的内接等腰梯形，AB为直径，且AB=4．设∠BOC=θ，ABCD的周长为L．
（1）求周长L关于角θ的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）当角θ为何值时，周长L取得最大值？并求出其最大值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由三角形中的正弦定理得到BC=4sin

θ

2

．再由直角三角形中的边角关系求得DC=4cosθ．
则周长L关于角θ的函数解析式可求，并结合实际意义求得函数的定义域；
（2）把L=4+8sin

θ

2

+4cosθ化为关于sin

θ

2

的二次函数，利用配方法求得当sin

θ

2

=

1

2

，即θ=

π

3

时，周长L取得最大值10．

解答： 解：（1）由题意可知，

BC

sinθ

=

2

sin( π 2 - θ 2 )

，BC=4sin

θ

2

．
sin(

π

2

-θ)=

1 2 DC

2

，DC=4cosθ．
∴周长L关于角θ的函数解析式为：L=4+2BC+DC=4+8sin

θ

2

+4cosθ（0＜θ＜

π

2

）；
（2）由L=4+8sin

θ

2

+4cosθ
=4+8sin

θ

2

+4(1-2sin2

θ

2

)=-8(sin2

θ

2

-sin

θ

2

-1)．
当sin

θ

2

=

1

2

，即

θ

2

=

π

6

，θ=

π

3

时，L_max=10．
∴当θ=

π

3

时，周长L取得最大值10．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了与三角函数有关的函数最值的求法，是中档题．