Question

1．抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l交抛物线于点A，B，若AB=8，则抛物线C的方程为y²=4x．

Answer 1

分析 设抛物线C的标准方程为y²=2px，p＞0，由已知条件利用抛物线的性质得$\frac{2p}{si{n}^{2}\frac{π}{4}}$=8，由此能求出抛物线C的方程．

解答 解：∵抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，
∴设抛物线C的标准方程为y²=2px，p＞0，
∵过焦点且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l交抛物线于点A，B，AB=8，
∴$\frac{2p}{si{n}^{2}\frac{π}{4}}$=8，解得2p=4，
∴抛物线C的方程为：y²=4x．
故答案为：y²=4x．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．