Question

设函数f（x）=x²+aln（x+2）、g（x）=xe^x，且f（x）存在两个极值点x₁、x₂，其中x₁＜x₂．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求g（x₁-x₂）的最小值；
（Ⅲ）证明不等式：

f(x1)

x2

＜-1．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f（x）存在两个极值点，等价于其导函数有两个相异零点；
（Ⅱ）先找出（x₁-x₂）的取值范围，再利用g（x）的导函数可找出最小值；
（Ⅲ）适当构造函数，并注意x₁与x₂的关系，转化为函数求最大值问题，证明相关不等式．

解答： 解：（Ⅰ）由题：f′(x)=2x+

a

x+2

(x＞-2)
∵函数f（x）存在两个极值点x₁、x₂，且x₁＜x₂
∴关于x的方程2x+

a

x+2

=0即2x²+4x+a=0在（-2，+∞）内有不等二实根
令S（x）=2x²+4x（x＞-2）、T（x）=-a，则

由图象可得-2＜-a＜0即0＜a＜2
∴实数a的取值范围是（0，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

x1+x2=-2 -2＜x1＜-1

，
∴x₁-x₂=x₁-（-2-x₁）=2x₁+2，
∴-2＜x₁-x₂＜0，
由g（x）=xe^x得g'（x）=（x+1）e^x，
∴当x∈（-2，-1）时，g'（x）＜0，即g（x）在（-2，-1）单调递减；
当x∈（-1，0）时，g'（x）＞0，即g（x）在（-1，0）单调递增；
∴g(x1-x2)min=g(-1)=-

1

e

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知

a=2x1x2 x1=-2-x2 -1＜x2＜0

，
∴

f(x1)

x2

=

x 2 1 +aln(x1+2)

x2

=x2+

4

x2

-2(x2+2)ln(-x2)+4，
令-x₂=x，则0＜x＜1且

f(x1)

x2

=-x-

4

x

+2(x-2)lnx+4，
令F(x)=-x-

4

x

+2(x-2)lnx+4(0＜x＜1)，则F′(x)=-1+

4

x2

+2lnx+

2(x-2)

x

=

4

x2

-

4

x

+2lnx+1(0＜x＜1)，
∴F″(x)=-

8

x3

+

4

x2

+

2

x

=

2(x2+2x-4)

x3

，
∵0＜x＜1，
∴F''（x）＜0即F'（x）在（0，1）上是减函数，
∴F'（x）＞F'（1）=1＞0，
∴F（x）在（0，1）上是增函数，
∴F（x）＜F（1）=-1即

f(x1)

x2

＜-1．

点评：本题考查导函数，函数的单调性，最值，不等式证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．