题目内容
二次函数y=x2-2x+2与y=-x2+ax+b（a＞0，b＞0）在它们的一个交点处切线互相垂直，则
+
的最小值为 ．
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
考点：基本不等式
专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用
分析：先对两个二次函数进行求导，然后设交点坐标，根据它们在一个交点处的切线相互垂直可得到 a+b=，再由用基本不等式可求得最小值．
解答：
解：∵y=x2-2x+2，
∴y'=2x-2
∵y=-x2+ax+b，
∴y'=-2x+a
设交点为（x0，y0），
∵它们的一个交点处切线互相垂直，
∴（2x0-2）（-2x0+a）=-1，
2x02-（2+a）x0+2-b=0
4x02-（2a+4）x0+2a-1=0，
4x02-（4+2a）x0+4-2b=0
整理得 2a-1-4+2b=0，
即a+b=
，
∴
+
=1，
∵
+
=（
+
）（
+
）=
+
+
+
≥2+2
=2+2×
=
，
当且仅当时
=
，即b=2a时，等号成立．
故
+
的最小值为
．
故答案为：
∴y'=2x-2
∵y=-x2+ax+b，
∴y'=-2x+a
设交点为（x0，y0），
∵它们的一个交点处切线互相垂直，
∴（2x0-2）（-2x0+a）=-1，
2x02-（2+a）x0+2-b=0
4x02-（2a+4）x0+2a-1=0，
4x02-（4+2a）x0+4-2b=0
整理得 2a-1-4+2b=0，
即a+b=
| 5 |
| 2 |
∴
| 2a |
| 5 |
| 2b |
| 5 |
∵
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| 2a |
| 5 |
| 2b |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 8a |
| 5b |
| 2b |
| 5a |
|
| 4 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
当且仅当时
| 8a |
| 5b |
| 2b |
| 5a |
故
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| 18 |
| 5 |
故答案为：
| 18 |
| 5 |
点评：本题主要考查基本不等式的应用，利用导数的几何意义是解决本题的关键，一定要注意用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”．综合性较强，运算量较大．
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| 1 |
| 1-x |
| A、2 | B、4 | C、6 | D、8 |
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| A、20 | B、24 | C、26 | D、30 |