题目内容

公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》于2013年1月1日起正式实施，新规实施后，获取驾照要经过三个科目的考试，先考科目一（理论一），科目一过关后才能再考科目二（桩考和路考），科目二过关后还要考科目三（理论二）．只有三个科目都过关后才能拿到驾驶证．某驾校现有100名新学员，第一批参加考试的20人各科目通过的人数情况如下表：
参考人数 通过科目一人数 通过科目二人数 通过科目三人数
20 12 4 2
请你根据表中的数据：
（Ⅰ）估计该驾校这100名新学员有多少人一次性（不补考）获取驾驶证；
（Ⅱ）第一批参加考试的20人中某一学员已经通过科目一的考试，求他能通过科目二却不能通过科目三的概率；
（Ⅲ）该驾校为调动教官的工作积极性，规定若所教学员每通过一个科目的考试，则学校奖励教官100元．现从这20人中随机抽取1人，记X为学校因为该学员而奖励教官的金额数，求X的数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）先由表中数据求出一次性（不补考）获取驾驶证的频率，再由学员数能求出一次性（不补考）获取驾驶证人数．
（Ⅱ）设“通过科目一、二、三”分别为事件A，B，C，利用条件概率公式能求出结果．
（Ⅲ）设这个学员一次性过关的科目数为Y，由已知条件Y=0，1，2，3，分别求出P（Y=0），P（Y=1），P（Y=2）和P（Y=3）的值，由此能求出Y的分布列和EY．
解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由表中数据可知一次性（不补考）获取驾驶证的频率为
2
20
=
1
10
，
估计这100名新学员中有100×
1
10
=10人一次性（不补考）获取驾驶证．（3分）
（Ⅱ）设“通过科目一、二、三”分别为事件A，B，C，
则P（A）=
12
20
，P（B
.
C
）=
2
20
，
P=P（B
.
C
|A）=
2
20
12
20
=
2
12
=
1
6
（6分）
（Ⅲ）设这个学员一次性过关的科目数为Y，
则Y=0，1，2，3，
设“通过科目一、二、三”分别为事件A，B，C，
由题设知P（A）=
12
20
，P（AB）=
4
20
，P（ABC）=
2
20
，
∴P（B）=
P(AB)
P(A)
=
4
20
12
20
=
1
3
，
P（C）=
P(ABC)
P(AB)
=
2
20
4
20
=
1
2
，
∴P（Y=0）=P（
.
A
）=1-
12
20
=
2
5
，
P（Y=1）=P(A
.
B
)=
12
20
×(1-
1
3
)=
2
5
，
P（Y=2）=P（AB
.
C
）=
12
20
×
1
3
×(1-
1
2
)=
1
10
，
P（Y=3）=P（ABC）=
12
20
×
1
3
×
1
2
=
1
10
，
则Y的分布列为
 Y  0  1  2  3
 P  
2
5
  
2
5
  
1
10
  
1
10
（8分）
EY=0×
2
5
+1×
2
5
+2×
1
10
+3×
1
10
=
9
10
（10分）
而X=100Y，所以EX=100EY=100×
9
10
=90（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意条件概率公式的灵活运用．
练习册系列答案
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π
2
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．
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A、-161.7B、-40
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A、1条B、2条C、3条D、4条
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1
9
，27]，求函数f(x)=log3(9x)•log
3
(
x
3
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1
2
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an+1，n为奇数
an-1×2an-1+1，n为偶数
，求数列{cn}的前2n项和T2n．
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1
a
+
4
b
的最小值为
 
．
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3
4
，
1
2
，
1
3
，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
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