Question

【题目】已知函数， ．　

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）当时，讨论函数单调性；

（Ⅲ）是否存在实数，对任意的， ，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； ; （Ⅱ）见解析；（Ⅲ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）当时， ，求函数的导数，并且求的 值，判断两侧的单调性，求极值；（Ⅱ）当时， ，讨论两根和 的大小关系，从而得到函数的单调区间；（Ⅲ）设，将不等式整理为 ，即说明函数是单调递增函数，即恒成立，求的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）当时，

， ．

当或时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减，

所以时， ；

时， ．

（Ⅱ）当时， ，

①当，即时，由可得或，此时单调递增；由可得，此时单调递减；

②当，即时， 在上恒成立，此时单调递增；

③当，即时，由可得或，此时单调递增；由可得，此时单调递减．

综上：当时， 增区间为， ，减区间为；

当时， 增区间为，无减区间；

当时， 增区间为， ，减区间为．

（Ⅲ）假设存在实数，对任意的， ，且，有恒成立，

不妨设，则由恒成立可得： 恒成立，

令，则在上单调递增，所以恒成立，

即恒成立，

∴，即恒成立，又，

∴在时恒成立，

∴，

∴当时，对任意的， ，且，有恒成立.