题目内容
【题目】【2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试文数】已知过的动圆恒与
轴相切,设切点为
是该圆的直径.
(Ⅰ)求点轨迹
的方程;
(Ⅱ)当不在y轴上时,设直线
与曲线
交于另一点
,该曲线在
处的切线与直线
交于
点.求证:
恒为直角三角形.
【答案】(1) ;(2) 证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)设点 ,点
是点
在
轴射影的中点,即
,根据几何关系可知
,将其转化为数量积的坐标表示即为轨迹方程;(Ⅱ)设直线
的方程为
与抛物线方程联立,交于
两点,设
,根据导数的几何意义求
和两点的直线斜率求
,证明
,即说明
是直角三角形.
试题解析:(Ⅰ) 设点坐标为
,则
点坐标为
.
因为是直径,所以
,或
、
均在坐标原点.
因此 ,而
,
,
故有,即
,
另一方面,设是曲线
上一点,
则有,
中点纵坐标为
,
故以为直径的圆与
轴相切.
综上可知点轨迹
的方程为
.
(Ⅱ)设直线的方程为
,
由得:
设 ,则有
.
由对
求导知
,
从而曲线E在P处的切线斜率,
直线的斜率
,
于是 .
因此 .
所以恒为直角三角形.
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练习册系列答案
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组号 | 分组 | 频数 |
1 | | 2 |
2 | | 8 |
3 | | 7 |
4 | | 3 |
(Ⅰ)现从融合指数在和
内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在
的概率;
(Ⅱ)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.