Question

5．设f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足f（x）=f（-x），f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，并且f（2a²+a+6）＜f（3a²-2a+2），则实数，a的取值集合是（-∞，-1）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可求a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=f（-x），f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
∴f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数．
又∵2a²+a+6=2（a+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{49}{8}$＞0，3a²-2a+2=3（a-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{7}{3}$＞0，
∴不等式f（2a²+a+6）＜f（3a²-2a+2），等价为2a²+a+6＜3a²-2a+2，
∴a²-3a-4＞0，
∴a＜-1或a＞4，
∴实数a的取值集合是（-∞，-1）∪（4，+∞）
故答案为（-∞，-1）∪（4，+∞）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．