Question

已知函数f（x）=cosx•sin（

5π

6

-x）．
（Ⅰ）求f（

π

3

）的值；
（Ⅱ）求使4f（x）＜1成立的x的取值集合．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）根据函数 f（x）的解析式，直接求得f（

π

3

）的值．
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=

1

4

+

1

2

cos（2x-

π

3

），要解的不等式即

1

2

cos（2x-

π

3

）＜0，令2kπ+

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，即为所求．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cosx•sin（

5π

6

-x），∴f（

π

3

）=cos

π

3

sin

π

2

=

1

2

×1=

1

2

．
（Ⅱ）∵f（x）=cosx•sin（

5π

6

-x）=cosx（

1

2

cosx+

3

2

sinx）
=

1

2

•

1+cos2x

2

+

3

4

sin2x=

1

4

+

1

2

cos（2x-

π

3

），
∴4f（x）＜1即

1

2

cos（2x-

π

3

）＜0，∴2kπ+

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

3π

2

，k∈z．
解得 kπ+

5π

12

＜x＜kπ+

11π

12

，
∴使4f（x）＜1成立的x的取值集合为 {x|kπ+

5π

12

＜x＜kπ+

11π

12

，k∈z}．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的单调性，属于中档题．