Question

10．若函数f（x）=lg[（1-a²）x²+4（a-1）x+4]值域为R，求实数a满足的条件．

Answer 1

分析 根据对数函数的性质建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=lg[（1-a²）x²+4（a-1）x+4]的值域为R，
∴当1-a²=0时，得a=1或a=-1，
当a=1时，f（x）=lg4，函数的值域为{lg4}，不满足条件．
当a=-1时，f（x）=lg（4-8x），此时函数的值域为R，满足条件．
当a≠±1，
设y=（1-a²）x²+4（a-1）x+4，
要使函数f（x）的值域为R，
则满足二次项系数1-a²＞0，即-1＜a＜1
根的判别式△=16（a-1）²-16（1-a²）≥0，
即2a（a-1）≥0，解得a≥1或a≤0，
∵-1＜a＜1
∴此时-1＜a≤0．
综上-1≤a≤0．

点评 本题考查了函数的值域，还考查了分类讨论的数学思想，根据对数函数的性质结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．