Question

14．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，E是PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE，则PC∥OE，由此能证明PC∥平面BDE．
（Ⅱ）推导出PA⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面BDE．

解答 证明：（Ⅰ）如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE…（2分）
∵O是AC的中点，E是PA的中点
∴PC∥OE…（3分）
∵OE?平面BDE，PC?平面BDE
∴PC∥平面BDE…（5分）
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥BD
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
又AC∩PA=A
∴BD⊥平面PAC…（9分）
又BD?平面BDE
∴平面PAC⊥平面BDE…（10分）

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．