Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，点P（S_n，a_n）在直线（3-m）x+2my-m-3=0（m∈N₊，m≠3）上
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b₁=3，b_n=

3

2

f（b_n-1）（n∈N₊，n≥2），求证：{

1

bn

}为等差数列，并求通项b_n
（3）若m=1，C_n=

an

bn

，T_n为数列{C_n}的前n项和，求T_n的最小值．

Answer 1

考点：数列与解析几何的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题设，（3-m）S_n+2ma_n-m-3=0，所以（3-m）a₁+2ma₁-m-3=0⇒a₁=

m+3

m+3

=1，故（3-m）S_n-1+2ma_n-1-m-3=0，由此能求出a_n．
（2）由q=

2m

m+3

，b₁=3，a₁=1，由bn=

3

2

f(bn-1)⇒bn=

3

2

•

2bn-1

bn-1+3

=

3bn-1

bn-1+3

，得

1

bn

=

1

3

(1+

3

bn-1

)=

1

bn-1

+

1

3

⇒{

1

bn

}，由此能得到{

1

bn

}为等差数列，
并能求出b_n．
（3）Cn=

1

3

n•(

1

2

)n-1(n∈N+)，利用错位相减法求和即可得出T_n的最小值．

解答： 解：（1）

(3-m)Sn+2man-m-3=0 (3-m)Sn-1+2man-1-m-3=0

⇒(3-m)an+2man-2man-1=0⇒(3+m)an=2man-1⇒

an

an-1

=

2m

3+m

(n≥2)
∴{a_n}等比且q=

2m

3+m

令n=1得（3-m）S₁+2ma₁-m-3=0，
∴（3+m）a₁=m+3⇒a₁=1∴an=a1•qn-1=(

2m

3+m

)n-1(n∈N+)
（2）q=f(m)=

2m

m+3

由bn=

3

2

f(bn-1)⇒bn=

3

2

•

2bn-1

bn-1+3

=

3bn-1

bn-1+3

∴

1

bn

=

1

3

(1+

3

bn-1

)=

1

bn-1

+

1

3

⇒{

1

bn

}等差且d=

1

3

1

bn

=

1

b1

+(n-1)•d=

1

3

+(n-1)•

1

3

=

n

3

⇒bn=

3

n

（3）当m=1时，an=(

1

2

)n-1∴Cn=

1

3

n•(

1

2

)n-1(n∈N+)
∴Tn=

1

3

[1+2•(

1

2

)+3•(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n-1]
令Un=1+2•

1

2

+3•(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n-1
由差错位相减法可得Un=4-(1+

n

2

)•(

1

2

)n-2
∴Tn=

4

3

-(

1

3

+

n

6

)(

1

2

)n-2(n∈N+)
由T_n+1-T_n＞0⇒{T_n}递增
∴(Tn)小=T1=

4

3

-(

1

3

+

1

6

)(

1

2

)-1=

1

3

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法和等差数列的证明，考查数列前n项和最小值最大是多少．解题时要认真审题，仔细解答，注意数列性质的合理运用．