Question

已知sin（α+β）+cos（α+β）=0，2sin（α-β）-cos（α-β）=0，则

sin2α

sin2β

=

 

．

Answer 1

考点：二倍角的正弦

专题：三角函数的求值

分析：根据题意，求出tan（α+β）与tan（α-β）的值，利用两角和或差的正切公式，求出tanα、tanβ的值，即可求出sin2α、sin2β的值，从而求出

sin2α

sin2β

的值．

解答： 解：∵sin（α+β）+cos（α+β）=0，
∴cos（α+β）≠0，
∴tan（α+β）=-1，
即

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=-1①；
又∵2sin（α-β）-cos（α-β）=0，
∴cos（α-β）≠0，
∴tan（α-β）=

1

2

，
即

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

1

2

②；
由①、②组成方程组，解得

tanα=3+ 10 tanβ= 1+ 10 3

，或

tanα=3- 10 tanβ= 1- 10 3

；
当tanα=3+

10

，tanβ=

1+ 10

3

时，
sin2α=

2tanα

1+tan2α

=

2(3+ 10 )

1+(3+ 10 )2

=

1

10

，
sin2β=

2tanβ

1+tan2β

=

2× 1+ 10 3

1+( 1+ 10 3 )2

=

3

10

；
∴

sin2α

sin2β

=

1

3

；
同理，当tanα=3-

10

，tanβ=

1- 10

3

时，
sin2α=-

1

10

，sin2β=-

3

10

；
∴

sin2α

sin2β

=

1

3

．
综上，

sin2α

sin2β

=

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：本题考查了三角函数求值的问题，解题时应灵活应用三角函数的公式进行化简、求值，是中档题．