Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，数列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=2b_n+1．
（1）求a₁以及a_n；
（2）求证：数列{b_n+1}为等比数列，并求出b_n；
（3）设c_n=a_n•log₂（b_n+1），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁=2，a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n，从而{a_n}是以2为公比的等比数列，由此能求出an=2n．
（2）由已知得b_n+1+1=2（b_n+1），b₁+1=2，从而能证明{b_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，由此能求出b_n=2ⁿ-1．
（3）由c_n=a_n•log₂（b_n+1）=2ⁿ•n，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，
∴a₁=S₁=2a₁-2=，解得a₁=2，
∴S_n=2a_n-2，
S_n+1=2a_n+1-2
a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n，
a_n+1=2a_n，
∴

an+1

an

=2，
∴{a_n}是以2为公比的等比数列，
∴an=2n．
（2）∵数列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=2b_n+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），
又b₁+1=2，
∴{b_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴b_n+1=2ⁿ，b_n=2ⁿ-1．
（3）c_n=a_n•log₂（b_n+1）=2ⁿ•n，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
∴①-②，得：
-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
∴T_n=2-（n+1）•2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．