Question

给出下列命题：
①函数f（x）=|cosx|+cosx的值域为[0，2]；
②奇函数的图象一定过原点；
③函数y=cos(2x+

π

3

)的图象关于点(

π

12

，0)对称；
④已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+2）=f（x），且在[-3，-2]上为减函数，若α、β是锐角三角形的内角，则有f（sinα）＞f（cosβ）．
其中正确的选项有

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①去绝对值可得函数的解析式，结合余弦函数的值域可得；
②奇函数的定义域内有0时，则图象一定过原点；
③根据余弦函数的对称性，可判断真假；
④由f（x+2）=f（x）得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行转化，确定函数f（x）在区间[0，1]上的单调性，即可判断得到答案．

解答： 解：①y=|cosx|+cosx=

2cosx，cosx≥0  0，  cosx＜0

，
∴所求函数的值域为[0，2]，故①正确；
②奇函数的定义域内有0时，则图象一定过原点，
但是定义域内若没有0，则函数就不过原点，例如函数y=

1

x

；故②错误；
③当x=

π

12

时，y=f（x）=cos（2×

π

12

+

π

3

）=2cos

π

2

=0，
∴函数y=cos(2x+

π

3

)的图象关于点(

π

12

，0)对称，即③正确．
④∵f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）为周期函数，周期T=2，
∵f（x）在[-3，-2]上为减函数，
∴f（x）在[-1，0]上为减函数，
∵f（x）为偶函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反，
∴f（x）在[0，1]上为单调增函数．
∵在锐角三角形中，则π-α-β＜

π

2

，
∴α+β＞

π

2

，
∴

π

2

＞α＞

π

2

-β＞0，
∴sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ，
∵f（x）在[0，1]上为单调增函数．
∴f（sinα）＞f（cosβ），故④正确．
故答案为：①③④

点评：本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，三角函数的图象和性质，综合考查了函数的奇偶性、周期性和单调性的应用，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．