Question

设数列{a_n}的通项公式为a_n=pn+q（n∈N^*，p＞0），数列{b_m}定义如下：对于正常数m，b_m是使不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若p=2，q=-1，求b₁，b₂及数列{b_m}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）p=2，q=-1，a_n=2n-1，根据对于正常数m，b_m是使不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．可得b₁=1，同理b₂=2．b₃=2，b₄=3=b₅．…，分奇数偶数项即可归纳出．
（II）假设存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）．则b₁=5，根据对于正常数m，b_m是使不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值，可得

a4=4p+q＜5 a5=5p+q≥5

，解得p＞0，q＜5．由b₂=8，同理可得p＞0，q＜8，…，即可得出．

解答： 解：（I）p=2，q=-1，a_n=2n-1，
∵对于正常数m，b_m是使不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
∴b₁是使不等式a_n≥1成立的所有n中的最小值，又a₁=1．
∴b₁=1，
同理b₂=2．b₃=2，b₄=3=b₅．
∴b_m=

k，m=2k-1 k+1，m=2k

（k∈N^*）．
（II）假设存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）．
则b₁=5，根据对于正常数m，b_m是使不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值，
∴

a4=4p+q＜5 a5=5p+q≥5

，解得p＞0，q＜5．
由b₂=8，同理可得

a7=7p+q＜8 a8=8p+q≥8

，解得p＞0，q＜8，
…，
依此类推，存在p＞0，q＜5，使得b_m=3m+2（m∈N^*）．

点评：本题考查了新定义数列的通项公式的求法，考查了分析猜想归纳类推能力，属于难题．