Question

已知各项均不相同的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{

1

an•an+1

}的前n项和，求T₂₀₁₄的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

4a1+ 4×3 2 d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，由此能求出a_n=n+1．
（Ⅱ）由

1

an•an+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，利用裂项法能求出T₂₀₁₄．

解答： 解：（Ⅰ）设公差为d，
∵S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列，各项均不相同，
∴

4a1+ 4×3 2 d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，…（4分）
解得d=0（舍）或d=1，a₁=2，
故a_n=n+1．…（7分）
（Ⅱ）∵a_n=n+1，
∴

1

an•an+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T₂₀₁₄=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2015

-

1

2016

=

1

2

-

1

2016

=

1007

2016

，
∴T₂₀₁₄=

1007

2016

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项法的合理运用．