Question

二阶矩阵M对应的变换T_M将曲线x²+x-y+1=0变为曲线2y²-x+2=0．求M^-1．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换

专题：矩阵和变换

分析：本题由二阶矩阵M对应的变换T_M将曲线x²+x-y+1=0变为曲线2y²-x+2=0，可知矩阵M^-1对应的变换T M-1将曲线2y²-x+2=0变为曲线x²+x-y+1=0，用待定系数法设出矩阵M^-1，可知曲线2y²-x+2=0上任取一点P（x，y）与曲线x²+x-y+1=0上的点为P′（x′，y′）的坐标关系，代入曲线方程，得到两个关于x，y的方程组，比较系数，得到相应参数的方程组，解方程组求出参数的值，得到本题结论．

解答： 解：∵二阶矩阵M对应的变换T_M将曲线x²+x-y+1=0变为曲线2y²-x+2=0，
∴二阶矩阵M^-1对应的变换T M-1将曲线2y²-x+2=0变为曲线x²+x-y+1=0．
设M^-1=

a b c d

，
在曲线2y²-x+2=0上任取一点P（x，y），
点P在矩阵变换T M-1作用下，对应曲线x²+x-y+1=0上的点为P′（x′，y′），
则有

a b c d

•

x y

=

x′ y′

，
即

x′=ax+by y′=cx+dy

，
∵P′（x′，y′）在曲线x²+x-y+1=0上，
∴x^′2+x′-y′+1=0，
∴（ax+by）²+（ax+by）-（cx+dy）+1=0，
∴a²x²+2abxy+b²y²+（a-c）x+（b-d）y+1=0，①
∵2y²-x+2=0，
∴y2-

1

2

x+1=0．②
由①②知：a²=0，2ab=0，b²=1，a-c=-

1

2

，b-d=0．
∴

a=0 b=1 c= 1 2 d=1

或

a=0 b=-1 c= 1 2 d=-1

，
∴M^-1=

0 1 1 2 1

或M^-1=

0 -1 1 2 -1

．

点评：本题考查了矩阵变换与曲线方程的关系，本题难度不大，属于基础题．