Question

如图，A是双曲线

x2

4

-y2=1的右顶点，过点A的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点M，N，问直线MN是否一定过x轴上一定点？如果不存在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P试求出这个定点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：直线AM的斜率为k（k＞0，k≠±

1

2

，k≠±2），方程为y=k（x-2），代入

x2

4

-y2=1，求出M的坐标，同理得N的坐标，分类讨论，即可得出结论．

解答： 解：设直线AM的斜率为k（k＞0，k≠±

1

2

，k≠±2），方程为y=k（x-2），
代入

x2

4

-y2=1，可得M（

8k2+2

4k2-1

，

4k

4k2-1

），
同理得N（

2k2+8

4-k2

，-

4k

4-k2

）
当k=±1时，x_M=x_N=

10

3

，所以过（

10

3

，0）（8分）
当k≠±1，k≠±

1

2

，k≠±2时，由直线MN的方程得，y=k′（x-

10

3

） （10分）
所以，直线MN过x轴上的定点（

10

3

，0）．                  （14分）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了考生分析推理和基本的运算能力，属于中档题．