Question

如图，△ABC中，∠B=

π

2

，A（-2，0）、B（0，-2

2

），顶点C在x轴上，设圆M是△ABC的外接圆：
（1）求圆M的标准方程；
（2）若点O为坐标原点，DE是圆M的任意一条直径，试问

OD

•

OE

是否为定值？若是，求出定值并证明你的结论；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：直线与圆

分析：（1）在Rt△ABC中，由射影定理求得AC的长，则M点坐标可求，圆M的方程可求；
（2）设出过M的直线方程，和圆的方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到D、E两点的纵坐标的和与积，代入数量积公式求得

OD

•

OE

为定值．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵∠B=

π

2

，OA=2，OB=2

2

，
∴AB=

22+(2 2 )2

=2

3

，
又AB²=AO•AC，
∴AC=

AB2

AO

=

12

2

=6，
∴M（1，0），圆M的半径为3，
则圆M：（x-1）²+y²=9；
（2）设过M的直线为：x=my+1与圆（x-1）²+y²=9的两个交点为D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
联立

x=my+1 (x-1)2+y2=1

，
得：（m²+1）y²=9．
∴y1+y2=0，y1y2=

-9

m2+1

，
则

OD

•

OE

=x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2
=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=-8，
当过M的直线垂直于y轴时，经检验满足．
∴

OD

•

OE

=-8，为定值．

点评：本题考查了圆的方程的求法，训练了平面向量数量积的坐标运算，是中档题．