Question

已知抛物线y²=8x过点M（4，2）的直线l与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，当y₁²+y₂²取得最小值时，直线l的方程是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出直线l的斜率不存在时的y₁²+y₂²的值，然后写出直线l的斜率存在时的方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，写出根与系数关系，通过配方变形把y₁²+y₂²用y₁+y₂，y₁y₂表示，代入根与系数关系后化为关于

1

k

的一元二次方程，由此求得最小值及取得最小值时的k值，则直线方程可求．

解答： 解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=4，
代入y²=8x，得y²=32，
∴y₁²+y₂²=2y²=64；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y-2=k（x-4）（k≠0），
即x=

y

k

-

2

k

+4，
代入y²=8x得：y2=8(

y

k

-

2

k

+4)，
整理得：y2-

8

k

y+

16

k

-32=0．
y1+y2=

8

k

，y1y2=

16

k

-32．
∴y₁²+y₂²=(y1+y2)2-2y1y2=(

8

k

)2-2(

16

k

-32)=

64

k2

-

32

k

+64．
∴当

1

k

=

32

2×64

=

1

4

，即k=4时，(y12+y22)min=60．
综上，当k=4时，y₁²+y₂²取得最小值．
∴当y₁²+y₂²取得最小值时，直线l的方程是y-2=4（x-4）．
即4x-y-14=0．
故答案为：4x-y-14=0．

点评：本题考查抛物线的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，灵活运用韦达定理和灵活配方变形是解答该题的关键，训练了二次函数最值的求法．是中档题．