Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=e^x-x-b．（a为常数，e为自然对数的底，e≈2.71828）
（Ⅰ）当a=1时，①求f（x）的单调区间；②若对任意的X₁∈R^*，存在x₂∈R，使f（x₁）≥g（x₂），求实数b的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，

1

2

）上无零点，求a的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：转化思想,导数的综合应用

分析：（1）①求出a=1时f（x）的导数，分别令它大于0、小于0，求出单调区间；②分别求出f（x），g（x）在定义域内的最小值，由题意知：只要f（x）_min≥g（x）_min，即可求出b的取值范围；
（2）函数f（x）在区间（0，

1

2

）上无零点等价于对?x∈(0，

1

2

)，f（x）＞0恒成立，利用参数分离将a分离得：a＞2-

2lnx

x-1

，对右边两次求导，得到右边函数在（0，

1

2

）上的单调性，从而得到右边的最大值，只要a大于等于它即可．

解答： 解：（Ⅰ）①当a=1时，f（x）=x-1-2lnx（x＞0）则f′(x)=1-

2

x

，
令f′（x）＞0得x＞2，令f′（x）＜0得0＜x＜2，
故f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）；
②g（x）=e^x-x-b 则g′（x）=e^x-1，
当x＞0时，g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＜0时，g′（x）＜0，即g（x）在（-∞，0）上单调递减，
则g（x）_min=g（0）=1-b；由①易知函数f（x）_min=1-2ln2，
若对任意的x1∈R+，存在x₂∈R，使f（x₁）≥g（x₂），
只需f（x）_min≥g（x）_min，即1-2ln2≥1-b，所以b≥2ln2；
（Ⅱ）∵函数f（x）＜0在区间(0，

1

2

)上不可能恒成立，
故要使函数f（x）在区间(0，

1

2

)上无零点，只要对?x∈(0，

1

2

)，f（x）＞0恒成立．
即对?x∈(0，

1

2

)，a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，
令l(x)=2-

2lnx

x-1

（x∈(0，

1

2

)）则l′(x)=

- 2 x (x-1)+2lnx

(x-1)2

=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，
再令m(x)=2lnx+

2

x

-2，则m′(x)=

2

x

-

2

x2

=

-2(1-x)

x2

，
∵x∈(0，

1

2

)，∴m′（x）＜0，
故函数m（x）在区间(0，

1

2

)上单调递减，
∴m(x)＞m(

1

2

)=2-2ln2＞0，
即l′（x）＞0，∴函数l（x）在区间(0，

1

2

)上单调递增，
∴l(x)＜l(

1

2

)=2-4ln2，
故只要a≥2-4ln2，函数f（x）在区间(0，

1

2

)上无零点，
∴a_min=2-4ln2．

点评：本题是导数在函数中的综合应用：求单调区间，求极值，求最值，注意转化思想在解题中的运用，注意分离参数法的运用，转化为求函数最值问题，同时注意二次求导在解题中的运用，以及对“任意”与“存在”词语的理解．