Question

6．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，准线为l．⊙F与C交于A，B两点，与x轴的负半轴交于点P．
（Ⅰ）若⊙F被l所截得的弦长为$2\sqrt{5}$，求|AB|；
（Ⅱ）判断直线PA与C的交点个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若⊙F被l所截得的弦长为$2\sqrt{5}$，求出圆的半径，得到圆的方程，即可求|AB|；
（Ⅱ）求出P的坐标，即可判断直线PA与C的交点个数，

解答 解：（Ⅰ）抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），
∵⊙F被l所截得的弦长为$2\sqrt{5}$，
∴圆的半径为$\sqrt{5+4}$=3，
∴⊙F的方程为（x-1）²+y²=9，
与y²=4x联立可得A（2，2$\sqrt{2}$），B（2，-2$\sqrt{2}$），∴|AB|=4$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）（x-1）²+y²=9，令y=0，可得P（4，0），
∵A（2，2$\sqrt{2}$），∴直线PA与C的交点个数为2．

点评 本题考查圆的方程，考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．