Question

2．已知数列{a_n}是等比数列，首项a₁=1，公比q＞0，且2a₁，a₁+a₂+2a₃，a₁+2a₂成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）若数列{b_n}满足a_n+1=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}{b}_{n}}$，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （I）由2a₁，a₁+a₂+2a₃，a₁+2a₂成等差数列．可得2（a₁+a₂+2a₃）=2a₁+a₁+2a₂．即2（1+q+2q²）=3+2q，解得q即可得出．
（II）∵数列{b_n}满足a_n+1=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}{b}_{n}}$，代入可得b_n=n•2^n-1．再利用“错位相减法”与求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵2a₁，a₁+a₂+2a₃，a₁+2a₂成等差数列．
∴2（a₁+a₂+2a₃）=2a₁+a₁+2a₂．
∴2（1+q+2q²）=3+2q，化为4q²=1，公比q＞0，解得q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（II）∵数列{b_n}满足a_n+1=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}{b}_{n}}$，∴$（\frac{1}{2}）^{n}$=$（\frac{1}{2}）^{（\frac{1}{2}）^{n-1}{b}_{n}}$，
∴$（\frac{1}{2}）^{n-1}$b_n=n，∴b_n=n•2^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1．
2T_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．