Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]．
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|
（2）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求实数λ的值；
（3）设g（x）=sin（x+

π

3

），若方程3[g（x）]²-g（x）+m=0在x∈（-

π

3

，

2π

3

）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：（1）直接利用向量的数量积的坐标表示可求

a

•

b

，由|

a

+

b

|=

( a + b )2

，化简后代人向量的坐标可求
（2）由（1）可求得f（x），然后结合x∈[0，

π

2

]可求cosx的范围，然后结合对称轴与[0，1]的位置关系可求函数f（x）的最小值，进而可求λ
（3）由x∈（-

π

3

，

2π

3

）可求sin（x+

1

3

π）的范围，设g（x）=t，原问题等价于方程3t²-t+m=0在（0，1）只有一个根或两个相等根，结合二次函数的实根分布即可求解

解答： 解：（1）

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

∵x∈[0，

π

2

]
∴cosx≥0
∴|

a

+

b

|=

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2+2cos 3x 2 cos x 2 -2sin 3x 2 sin x 2

=

2+2cos2x

=

2•2cos2x

=2|cosx|=2cosx
（2）由（1）可得f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-4λcosx-1
=2（cosx-λ）²-1-2λ²
∵x∈[0，

π

2

]
∴1≥cosx≥0
①当λ＜0时，当cosx=0
②当0≤λ≤1时，当cosx=λ时，f（x）取得最小值-1-2λ²
由已知-1-2λ²=-

3

2

，解得λ=

1

2

③当λ＞1时，当cosx=1时，f（x）取得最小值1-4λ
由已知1-4λ=-

3

2

可得λ=

5

8

，与λ＞1矛盾
综上所述，λ=

1

2

（3）∵x∈（-

π

3

，

2π

3

）
∴x+

1

3

π∈（0，π）
∴0＜sin(x+

1

3

π)≤1
设g（x）=t，问题等价于方程3t²-t+m=0在（0，1）只有一个根或两个相等根
设h（t）=3t²-t+m
∴

h(0)≤0 h(1)＞0

或h（

1

6

）=0
∴

m≤0 2+m≥0

或

1

12

-

1

6

+m=0
∴-2＜m≤0或m=

1

12

综上可得m的范围-2＜m≤0或m=

1

12

点评：本题主要考查了向量数量积的坐标表示，二次函数性质的应用及二次函数闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用．